Halaman
Kompetensi DasarPengalaman BelajarA.KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJARSetelah mengikuti pembelajaran lingkaran siswa mampu:1.Mendeskripsikan konsep persamaan lingkaran dan menganalisis sifat garis singgung lingkaran dengan menggu-nakan metode koordinat.2.Mendeskripsikan konsep dan Kurva lingkaran dengan titik pusat tertentu dan menurunkan persamaan umum lingkaran dengan metode koordinat.3.Mengolah informasi dari suatu masalah nyata, mengidentifikasi sebuah titik sebagai pusat lingkaran yang melalui suatu titik tertentu, membuat model Matematika berupa persamaan lingkaran dan menyelesaikan masalah tersebut.4.Merancang dan mengajukan masalah nyata terkait garis singgung lingkaran serta menyelesaikannya dengan melakukan manipulasi aljabar dan menerapkan berbagai konsep lingkaran.Melalui proses pembelajaran lingkaran, siswa memiliki pengalaman belajar sebagai berikut.• menemukankonseppersamaanlingkaranberpusat di (0, 0) dan (a, b) melalui pemecahan masalah otentik;• menemukanpersamaangarissinggungyangmelalui suatu titik pada lingkaran;• Menemukanpersamaangarissinggungyanggradiennya diketahui;• berkolaborasimemecahkanmasalahaktualdengan pola interaksi sosial kultur dalam menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dengan menggunakan diskriminan;• berpikirtingkattinggi(berpikirkritis,kreatif)dalam menyelidiki dan mengaplikasikan konsep lingkaran dalam memecahkan masalah otentik.LINGKARAN• Persamaanlingkaran• Persamaangarissinggunglingkaran• Kedudukangarispadalingkaran• Kedudukantitikpadalingkaran• DiskriminanBab9
76Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKB.PETA KONSEPMasalahOtentikLingkaranMelalui sebuah titik di luar lingkaranPusat di (a, b) jari-jari rGradien mGradien mMelalui (x, y) pada lingkaranMelalui (x, y) pada lingkaranPusat di (0, 0) jari-jari rPusat di (0, 0) jari-jari rPusat di (a, b) jari-jari rBentuk UmumPersamaan LingkaranTempat Kedudukan Titik pada LingkaranPersamaan Garis Singgung Lingkaran
77Matematika1. Menemukan Konsep Persamaan LingkaranLingkaran adalah sebuah bangun datar yang sering digunakan sebagai alat bantu dalam menjelaskan ilmu pengetahuan lain maupun dalam berbagai penyelesaian masalah kehidupan sehari-hari.Pada bab ini akan dibahas tentang lingkarandan beberapa hal dasar yang pada akhirnya membantu kita untuk menemukan konsep tentang lingkaran itu sendiri.Masalah-9.1Gunung Sinabung di Kabupaten Karo, Sumatera Utara kembali meletus sekitar pukul 12.00 WIB hari Selasa tanggal 17 September 2013. Material yang dikeluarkan lebih banyak dibanding letusan pertama dua hari lalu. Akibat letusan ini banyak warga yang mengungsi. Pemerintah setempat pun memberikan peringatan agar masyarakat yang berada pada radius 3 km dari puncak gunung Sinabung harus segera mengungsi dan daerah tersebut harus bebas dari aktivitas dan dikosongkan untuk sementara. Bantulah pemerintah kabupaten Karo untuk menentukan daerah mana saja masyarakatnya harus mengungsi. (Petunjuk: Gunakan Peta Kabupaten Karo)Alternatif PenyelesaianGunung SinabungGambar 9.1: Peta Kabupaten KaroC.MATERI PEMBELAJARAN
78Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKPertama kali yang dilakukan adalah membuat radius (jari-jari) sepanjang 3 km dari titik pusatnya yaitu puncak Gunung Sinabung. Setelah itu tariklah secara melingkar dan terbentuklah sebuah lingkaran. Berdasarkan daerah lingkaran yang dibuat tersebut ternyata terdapat beberapa desa yang penduduknya harus mengungsi karena berada pada daerah radius 3 km yaitu Desa Simacem, Bekerah, Sigaranggarang, dan Kutatonggal di Kecamatan Naman Teran, serta Desa Sukameriah di Kecamatan Payung.Definisi 9.1Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada suatu bidang yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentuMasalah-9.2Misalkan Gambar 9.1 pada Masalah 9.1 dipindahkan ke bidang koordinat cartesius dan gunung Sinabung berpusat di P(0, 0) dan jari-jarinya r = 3. Misalkan salah satu desa yaitu Sigaranggarang berada pada titik S(x, y) pada lingkaran tersebut, tentukanlah persamaan lingkaran tersebut!Alternatif penyelesaianjarak titik S(x, y) ke titik P(0, 0) dapat ditentukan dengan rumus:PSxy=−()+−()0022Diketahui bahwa jari-jarinya adalah r dan PS= r, makarxyxyr=−()+−()⇔−()+−()=00002222Kuadratkan kedua ruas sehingga diperolehGambar 9.2: Lingkaran pusat P(0, 0) dan jari-jari r = 3
79Matematika(x – 0)2 + (y – 0)2 = r2⇔x2 + y2 = r2Diketahui bahwa r = 3, maka diperolehx2 + y2 = 32 ⇔ x2 + y2 = 9Sifat 9.1Persamaan lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan memiliki jari-jari r adalah x2 + y2 = r2Atau dengan kata lainJika L adalah himpunan titik-titik yang berjarak r terhadap titik P(0, 0) maka L {(x, y) | x2 + y2 = r2}Contoh 9.1Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan jari-jari sebagai berikut:a. 3b. 4c. 5d. 6Alternatif Penyelesaiana.Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 3 adalah x2 + y2 = 32 ⇔x2 + y2 = 9b.Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 4 adalah x2 + y2 = 42⇔x2 + y2 = 16c.Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 5 adalah x2 + y2 = 52⇔x2 + y2 = 25d.Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 6 adalah x2 + y2 = 62⇔x2 + y2 = 36Masalah-9.3Misalkan gambar pada masalah 1 dipindahkan ke bidang koordinat Kartesius dan gunung Sinabung berpusat diP(a, b) dan jari-jarinya r = 3 Misalkan salahsatu desa yaitu Sukameriah berada pada titik S(x, y), tentukanlah persamaan lingkaran tersebut!
80Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif Penyelesaian:Jarak titik S(x, y) ke titik P(a, b) adalah PSxayb=−()+−()22Diketahui bahwa jari-jarinya adalah r dan PS = r, makarxaybxaybr=−()+−()⇔−()+−()=2222Dikuadratkan kedua ruas maka diperoleh (x – a)2 + (y – b)2 = r2Berdasarkan informasi diketahui bahwa r = 3, maka diperoleh(x – a)2 + (y – b)2 = 32⇔ (x – a)2 + (y – b)2 = 9Sifat 9.2Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan memiliki jari-jari radalah (x– a)2 + (y – b)2 = r2Atau dengan kata lainJika L adalah himpunan titik-titik yang berjarak r terhadap titik P(a, b) maka L {(x, y) | (x–a)2 + (y–b)2 = r2}Contoh 9.2Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2, 2) dan berjari-jari r = 2.Gambar 9.3: Lingkaran pusat P(a, b) dilalui titik S(x, y)
81MatematikaAlternatif Penyelesaian:(x – a)2 + (y – b)2 = r2 a= 2; b = 2; c = 2⇔ (x – 2)2 + (y – 2)2 = 22⇔ (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (2, 2) dan berjari-jari r = 2 adalah (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4Contoh 9.3Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran berikut!a. (x – 2)2 + (y + 2)2 = 4b. (x + 2)2 + (y + 2)2 = 9c. (x + 2)2 + (y – 2)2 = 16d. (x + 2)2 + y2 = 16Alternatif Penyelesaian:a.(x – 2)2 + (y + 2)2 = 4⇔ (x – 2)2 + (y + 2)2 = 22a = 2; b = –2; r = 2 lingkaran tersebut berpusat di titik (2, – 2) dan berjari-jari 2b.(x + 2)2 + (y + 2)2 = 9⇔ (x + 2)2 + (y + 2)2 = 32a = –2; b = –2; r = 3 Lingkaran tersebut berpusat di titik (–2, –2) dan berjari-jari 3Gambar 9.4 : Lingkaran pusat (2, 2) dan r = 2
82Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKc.(x + 2)2 + (y – 2)2 = 16⇔ (x + 2)2 + (y – 2)2 = 42a = –2; b = 2; r = 4 Lingkaran tersebut berpusat di titik (–2, 2) dan berjari-jari 4d.(x + 2)2 + y2 = 16⇔ (x + 2)2 + y2 = 16a = –2; b = 0; r = 4 Lingkaran tersebut berpusat di titik (–2, 0) dan berjari-jari 42. Bentuk Umum Persamaan LingkaranPada pembahasan sebelumnya telah dibahas tentang konsep persamaan lingkaran yaitu : a.Lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r persamaannya adalahx2 + y2 = r2b.Lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r persamaannya adalah(x – a)2 + (y – b)2 = r2Jika diperhatikan kedua bentuk persamaan lingkaran tersebut, maka dapat langsung diketahui titik pusat lingkaran dan panjang jari-jarinya. Persamaan tersebut dinamakan bentuk baku persamaan lingkaran. Kegiatan 9.1Jabarkanlah persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2.Alternatif PenyelesaianUntuk menyelesaikan persoalan di atas, maka kamu harus mengingat kembali tentang operasi bentuk aljabar yang telah kamu pelajari sebelumnya.Contoh 9.4Berdasarkan kegiatan 9.1 diperoleh persamaan a2 + b2 – r2 = C dengan –a = A; –b = B, tentukanlah nilai r.
83MatematikaAlternatif PenyelesaianKarena a2 + b2 – r2 = C dan –a = A; –b = B, maka r2 = A2 + B2 – C2⇔ rABC=±+−22Contoh 9.5Berdasarkan kegiatan 9.1 diperoleh persamaan x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, ubahlah persamaan tersebut ke dalam persamaan bentuk baku persamaan lingkaran!Alternatif Penyelesaianx2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0⇔x2 + y2 + 2Ax + 2By = –C⇔ (x2 + 2Ax + A2)– A2 + (y2 + 2By + B2)– B2 = –C⇔ (x+ A)2 + (y+ B)2 = A2 + B2 = –C⇔ (x+ A)2 + (y+ B)2 = ABC222+−()Berdasarkan penyelesaian Latihan 9.2 diperoleh bahwa persamaan (x+ A)2 + (y+ B)2 = ABC222+−()adalah persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(–A, –B) dan berjari-jari rABC=+−22Sifat 9.3Bentuk umum persamaan lingkaran adalah x2 + y2 + 2Ax + 2By + C= 0dengan titik pusat P(–A, –B) dan berjari-jari rABC=+−22dengan A, B, C bilangan real dan A2 + B2≥CPertanyaan Kritis1.Berdasarkan Fakta 9.1 diperoleh bahwa rABC=+−22. Bagaimana jika A2 + B2 = 0? Apa yang kamu peroleh?2.Mengapa C2 ≤ A2 + B2
84Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKContoh 9.6Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y3 + 10x – 8y + 25 = 0, lalu gambarkan lingkaran tersebut dalam bidang Kartesius!Alternatif Penyelesaian:x2 + y3 + 10x – 8y + 25 = 0A = –5; B = 4, dan C = 25Titik Pusat (–5, 4)Jari-jari lingkaranrABC=+−22r=−()+−=5425422Latihan 9.1Tentukanlah persamaan-persamaan di bawah ini yang merupakan persamaan lingkaran.a.x – y = 16b.x2 + 4y2 + 8x – 6 – 16y = 25c.x2 + y2 + 6x – 8y + 21 = 0d.x2 – y2 + 8x – 2y + 100 = 0Latihan 9.2Misalkan pada bidang koordinat Kartesius desa Sigaranggarang terletak pada titik (3, 3), desa sukameriah terletak pada titik (–1, 2), dan desa Kutatonggal terletak pada titik (2, –1) yang terkena dalam radius daerah yang penduduknya harus mengungsi. Tentukanlah letak gunung Sinabung (titik pusat) dan radiusnya!Gambar 9.5 : Lingkaran x2 + y3 + 10x – 8y + 25 = 0
85MatematikaContoh 9.6Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y3 + 10x – 8y + 25 = 0, lalu gambarkan lingkaran tersebut dalam bidang Kartesius!Alternatif Penyelesaian:x2 + y3 + 10x – 8y + 25 = 0A = –5; B = 4, dan C = 25Titik Pusat (–5, 4)Jari-jari lingkaranrABC=+−22r=−()+−=5425422Latihan 9.1Tentukanlah persamaan-persamaan di bawah ini yang merupakan persamaan lingkaran.a. x – y = 16b. x2 + 4y2 + 8x – 6 – 16y = 25c. x2 + y2 + 6x – 8y + 21 = 0d. x2 – y2 + 8x – 2y + 100 = 0Latihan 9.2Misalkan pada bidang koordinat Kartesius desa Sigaranggarang terletak pada titik (3, 3), desa sukameriah terletak pada titik (–1, 2), dan desa Kutatonggal terletak pada titik (2, –1) yang terkena dalam radius daerah yang penduduknya harus mengungsi. Tentukanlah letak gunung Sinabung (titik pusat) dan radiusnya!Gambar 9.6 Lingkaran dilalui titik (3, 3), (-1, 2), (2, -1)Uji Kompetensi 9.11.Tulislah persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dan melalui titik berikut.a. (1, 2)c. (0, 1)b. (3, 2)d. (4, 0)2.Tulislah persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari sebagai berikut.a. 1c. 3b. 2d. 43.Tulislah dan gambarkan pada bidang koordinat Kartesius persamaan lingkaran yang a. Pusat di titik P(1, 2) dan panjang jari-jari 1b. Pusat di titik P( –1, 2) dan panjang jari-jari 2c. Pusat di titik P(1, –2) dan panjang jari-jari 3d. Pusat di titik P(–1, –2) dan panjang jari-jari 4
86Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK4.Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran berikut.a. x2 + y2 = 5e. x2 + y2 – 4x –2y – 31 = 0b. x2 + y2 – 4 = 5f. 4x2 + 4y2 + 8x – 4y – 10 = 0c. (x – 1)2 + (y + 2)2 = 30g. (x – p)2 + (y – q)2 = 25d. x2 + (y – 4)2 = 15h. 2x2 + 2y2 – 8x + 6y = 205.Tulis dan gambarkanlah persamaan lingkaran yang melalui titik-titik berikut.a. Titik A(–4 , 7), B(–1, 7), dan C(0, 5)b. Titik A(–2, 7), B(2, 7), dan C(0, 4)c. Titik A(0, 6), B(0, 3), dan C(–4, 3)d. Titik A(–2, 1), B(1, 1), dan C(–1, –1)6.Tentukan pusat lingkaran x2 + y2 + 4x – 6y – 13 = 0.7.Tentukan pusat lingkaran 3x2 + 3y2 – 4x + 6y – 12 = 0.8.Nyatakanlah persamaan lingkaran-lingkaran berikut ini ke dalam bentuk umuma. Pusat (1, 2), dan jari-jari 1b. Pusat (–3, –4), dan jari-jari 2c. Pusat 1212,−, dan jari-jari 3d. Pusat 11213,, dan jari-jari 129.Carilah pusat dan jari-jari lingkaran berikut ini.a. x2 + (y – 2)2 = 1b. (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4c. x2 + y2 + 2x – 4y = –3d. x2 + y2 + 2x – 4y + 1 = 0e. x2 + y2 – 4y + 1 = 0f. x2 + y2 – 4y + 3 = 010.Titik A(–2, a) terletak di dalam lingkaran x2 + y2 + 4x – 8y – 5 = 0?
87Matematika3. Kedudukan Titik terhadap LingkaranMasalah-9.4Masih ingatkah kamu masalah gunung Sinabung. Jika disajikan letak beberapa desa di koordinat kartesius dengan menganggap gunung Sinabung berada pada titik P(0, 0) dan berjari jari 5 satuan. Tentukan kedudukan titik desa Sigaranggarang di titik (0, 5), desa Sukatepu di titik (5, 4), dan desa Bekerah di titik (2, –1) terhadap lingkaran yang dengan pusat (0, 0) dan jari-jari 5 satuan. Apakah penduduk desa-desa tersebut perlu mengungsi?Alternatif Penyelesaian: Berdasarkan permasalahan di atas maka persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 25Untuk desa Sigaranggarang dengan titik (0, 5)Substitusikan titik (0, 5) pada persamaan lingkaran x2 + y2 = 25 kemudian periksa apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu simpulkan apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak. Untuk desa Sukatepu dengan titik (5, 4)Substitusikan titik (5, 4) pada persamaan lingkaran x2 + y2 = 25 kemudian periksa apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu simpulkan apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak.Untuk desa Bekerah dengan titik (2, –1) Substitusikan titik (2, –1) pada persamaan lingkaran x2 + y2 = 25 kemudian periksa apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu simpulkan apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak.Alternatif penyelesaian lainnya adalah dengan menggambar titik-titik letak desa di koordinat kartesius.Gambar 9.7 Lingkaran dengan Pusat (0, 0) dan r = 5
88Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKDefinisi 9.21.Suatu titik A(v, w) terletak di dalam lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r jika v2 + w2 < r2.2.Suatu titik A(v, w) terletak pada lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r jika v2 + w2 = r2.3.Suatu titik A(v, w) terletak di luar lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r jika v2 + w2 > r2.Masalah-9.5Misalkan Gambar 9.8 berikut menyajikan letak beberapa desa dengan menganggap gunung Sinabung berada pada titik P(3, 2) dan berjari-jari 5 satuan. Tentukan kedudukan titik desa Sigaranggarang, desa Sukatepu, dan desa bekerah berdasarkan gambar di samping. Apakah penduduk desa-desa tersebut perlu mengungsi?Gambar 9.8 : Lingkaran dengan Pusat P(3, 2) dan r = 5Alternatif Penyelesaian:Berdasarkan permasalahan di atas maka persamaan lingkarannya adalah (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25Untuk desa Sukameriah dengan titik (0, –2)Substitusikan titik (0, 5) pada persamaan lingkaran (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25 kemudian periksa apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu simpulkan apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak.
89MatematikaUntuk desa Simacem dengan titik (6, 3)Substitusikan titik (6, 3) pada persamaan lingkaran (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25 kemudian periksa apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu simpulkan apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak.Untuk desa Ndeskati dengan titik (9, 7)Substitusikan titik (9, 7) pada persamaan lingkaran (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25 kemudian periksa apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu simpulkan apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak.Definisi 9.31.Suatu titik A(v,w) terletak di dalam lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r jika (v–a)2 + (w–b)2 < r2.2.Suatu titik A(v,w) terletak pada lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r jika (v–a)2 + (w–b)2 = r2.3.Suatu titik A(v,w) terletak di luar lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r jika (v–a)2 + (w–b)2 > r2.Contoh 9.7Apakah titik-titik berikut terletak di luar, di dalam, atau pada lingkaran x2 + y2 – 8x+ 6y + 20 = 0 ?a. Q(–1, –1)c. S(0, 5)b. R(2, –3)d. T(–4, 0)Alternatif Penyelesaian:Persamaan lingkaran x2 + y2 – 8x + 6y+ 20 = 0 diubah menjadi bentuk baku persamaan kuadrat menjadi (x – 4)2 + (y+ 3)2 = 5a.Q(–1, –1) disubstitusikan ke persamaan (x – 4)2 + (y + 3)2 = 5 diperoleh(–1 – 4)2 + (–1 + 3)2 = (–5)2 + 22 = 29 > 5Titik Q(–1, –1) berada di luar lingkaran (x – 4)2 + (y + 3)2 = 5Gambar 9.9 : Titik-titik yang terletak di luar, di dalam, atau pada lingkaran x2 + y2 – 8x + 6y + 20 = 0
90Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKb.R(2, –3) disubstitusikan ke persamaan (x – 4)2 + (y + 3)2 = 5 diperoleh(2 – 4)2 + (–3 + 3)2 = (–2)2 + 0 = 4 < 5Titik R(2, –3) berada di dalam lingkaran (x – 4)2 + (y + 3)2 = 5c.S(4, –3) disubstitusikan ke persamaan (x – 4)2 + (y + 3)2 = 5 diperoleh(4 – 4)2 + (–3 + 3)2 = 0 + 0 = 0 < 5Titik S(4, –3) berada di dalam lingkaran (x – 4)2 + (y + 3)2 = 5d.T(2, –4) disubstitusikan ke persamaan (x – 4)2 + (y + 3)2 = 5 diperoleh(2 – 4)2 + (–4 + 3)2 = (–2)2 + (–1)2 = 4 + 1 = 5 = 5Titik T(2, –4) berada pada lingkaran (x – 4)2 + (y + 3)2 = 5Pertanyaan KritisMengapa (pada contoh 9.7) untuk menentukan suatu titik terletak di luar, di dalam, atau pada lingkaran, persamaan lingkaran harus kita ubah ke bentuk baku persamaan lingkaran?4. Kedudukan Garis terhadap LingkaranMasalah-9.6Perhatikan gambar berikut iniGambar 9.10 : Kedudukan Garis Terhadap LingkaranGambar 9.10 merupakan kedudukan garis terhadap lingkaran. Berdasarkan gambar di atas, buatlah pendapatmu mengenai gambar tersebut!Alternatif Penyelesaian:Gambar 9.10 (i) merepresentasikan tentang sebuah garis yang memotong sebuah lingkaran di dua titik yang berlainan.
91MatematikaGambar 9.10 (ii) merepresentasikan tentang sebuah garis yang memotong sebuah lingkaran pada suatu titik atau dengan kata lain menyinggung lingkaran.Gambar 9.10 (iii) merepresentasikan tentang sebuah garis yang tidak memotong sebuah lingkaran.Contoh 9.8Diberikan sebuah garis 2x + y = 2 dan lingkaran x2 + y2 = 9, selesaikanlah sistem persamaan linear-kuadrat tersebut! Kemudian tentukan nilai diskriminannya.Alternatif Penyelesaian :2x + y = 2 ................................................................................................................(1)x2 + y2 = 9 ................................................................................................................(2)digambarkan pada bidang Kartesius akan diperoleh seperti gambar 9.11. Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh:x2 + y2 = 5 ⇔x2 + (2 – 2x)2 = 5⇔x2 + 4 – 8x + 4x2 = 5⇔ 5x2 – 8x – 1 = 0Sehingga selesaian dari sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah 5x2 – 8x – 1 = 0, dengan nilai diskriminan D = b2 – 4ac = (–8)2 – 4(5)(–1) = 64 + 20 = 84Contoh 9.9Diberikan sebuah garis 2x + y = 5 dan lingkaran x2 + y2 = 5, selesaikanlah sistem persamaan linear-kuadrat tersebut! Kemudian tentukan nilai diskriminannya.Gambar 9.11: garis 2x + y = 2 dan lingkaran x2 + y2 = 9
92Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Alternatif Penyelesaian:2x + y = 5 ...............................................................................................................(1)x2 + y2 = 5 ...............................................................................................................(2)Digambarkan pada bidang kartesius akan diperoleh seperti gambar 9.12. Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh:x2 + y2 = 5 ⇔x2 + (–2x + 5)2 = 5⇔x2 + 4x2 – 20x + 25 – 5 = 0⇔ 5x2 + 20x2 + 20= 0⇔x2 + 4x + 4= 0Sehingga selesaian dari sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah x2 + 4x + 4= 0 dengan nilai diskriminan D = b2 – 4ac = (4)2 – 4(1) (4) = 16 – 16 = 0Contoh 9.10Diberikan sebuah garis –x + y = 3 dan lingkaran x2 + y2 = 5 , selesaikan-lah sistem persamaan linear-kuadrat tersebut! Kemudian tentukan nilai diskriminannya. Alternatif Penyelesaian:–x + y = 3 .......................................(1)x2 + y2 = 5.......................................(2)Digambarkan pada bidang kartesius akan diperoleh seperti gambar 9.13. Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh:x2 + y2 = 5⇔x2 + (3 + x)2 = 5⇔x2 + 9 + 6x + x2 = 5Gambar 9.12 : garis 2x + y = 5 dan lingkaran x2 + y2 = 5Gambar 9.13 garis –x + y = 3 dan lingkaran x2 + y2 = 5
93Matematika⇔ 2x2 + 6x + 4 = 0⇔x2 + 3x + 2 = 0Sehingga selesaian dari sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah x2 + 3x + 2 dengan nilai diksriminan Latihan 9.3Diketahui sebuah garis x + y = 2 dan sebuah lingkaran x2 + y2 = 9 seperti yang disajikan pada gambar 9.14, kemudian tentukan persamaan kuadrat gabungan antara garis dan lingkaran, kemudian tentukan nilai diskriminannya.Latihan 9.4Diketahui sebuah garis y = 3 dan sebuah lingkaran x2 + y2 = 9 seperti yang disajikan pada gambar 9.15, kemudian tentukan persamaan kuadrat gabungan antara garis dan lingkaran, kemudian tentukan nilai diskriminannya.Gambar 9.15 garis y = 3 dan sebuah lingkaran x2 + y2 = 9Gambar 9.14 garis x + y = 2 dan sebuah lingkaran x2 + y2 = 9
94Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKLatihan 9.5Diketahui sebuah garis –x + y = 5 dan sbuah lingkaran x2 + y2 = 9 seperti yang disajikan pada gambar 9.16, kemudian tentukan persamaan kuadrat gabungan antara garis dan lingkaran, kemudian tentukan nilai diskriminannya. Gambar 9.16 garis –x + y = 5 dan sbuah lingkaran x2 + y2 = 9Latihan 9.6Berdasarkan penyelesaian Latihan 9.1, 9.2, dan 9.3 syarat apa yang harus dipenuhi agar garis memotong lingkaran di dua titik yang berlainan, garis menyinggung lingkaran, dan garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran?Sifat 9.4Misalkan g garis dengan persamaan y = ax + b dan L lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = r2Kedudukan garis g terhadap sebuah lingkaran ditentukan oleh nilai diskriminan D= (1 + a2)r2 – b2, yaitu:(1)D > 0⇔garis g memotong lingkaran di dua titik yang berlainan(2)D = 0⇔garis g menyinggung lingkaran (3)D < 0⇔garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran
95MatematikaLatihan 9.5Diketahui sebuah garis –x + y = 5 dan sbuah lingkaran x2 + y2 = 9 seperti yang disajikan pada gambar 9.16, kemudian tentukan persamaan kuadrat gabungan antara garis dan lingkaran, kemudian tentukan nilai diskriminannya. Gambar 9.16 garis –x + y = 5 dan sbuah lingkaran x2 + y2 = 9Latihan 9.6Berdasarkan penyelesaian Latihan 9.1, 9.2, dan 9.3 syarat apa yang harus dipenuhi agar garis memotong lingkaran di dua titik yang berlainan, garis menyinggung lingkaran, dan garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran?Sifat 9.4Misalkan g garis dengan persamaan y = ax + b dan L lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = r2Kedudukan garis g terhadap sebuah lingkaran ditentukan oleh nilai diskriminan D= (1 + a2)r2 – b2, yaitu:(1) D > 0⇔garis g memotong lingkaran di dua titik yang berlainan(2) D = 0⇔garis g menyinggung lingkaran (3) D < 0⇔garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran5. Persamaan Garis Singgung Lingkarana.Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat P(0, 0) dan berjari-jari r Masalah-9.7Beberapa anak berkumpul dan sedang bermain. Di tangan mereka terdapat beberapa tutup botol plastik yang dijadikan permainan ibarat kelereng. Tutup botol dibuat berdiri, lalu bagian atasnya ditekan dengan telunjuk agar tutup botol itu meluncur ke depan. Setelah itu mereka lalu berlari mengejar tutup botol yang melaju kencang itu. Gambar 9.17 Tutup Botol terletak di lantaiDari gambar 9.17 di atas jelas terlihat bahwa lantai yang dilalui tutup botol selalu menyinggung di titik A(x1, y1). Garis di lantai yang dilalui tutup botol dapat disebut garis singgung dan titik yang bersinggungan antara tutup botol dan lantai disebut titik singgung. Perhatikan bahwa jari-jari yang melalui titik singgung A(x1, y1) tegak lurus dengan lantai. Misalkan titik P adalah titik pusat lingkaran di (0, 0). Berdasarkan keadaan di atas tentukanlah persamaan garis g tersebut!Alternatif Penyelesaian: Misalnya titik A(x1, y1) terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r yaitu, x2 + y2 = r2. Asumsikan x1 ≠ 0 dan y1 ≠ 0 Gradien garis PA adalah mop = yx11, garis singgung g tegak lurus dengan garis PA. Gradien garis g adalah mmyxxygOP=−=−=−111111. Akibatnya, persamaan garis singgung g adalah y – y1 = mg (x – x1)
96Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK⇔yyxyxx−=−−()1111⇔ (y – y1)y1 = –x1 (x – x1)⇔yy1 – y12 = –xx12⇔xx1 – yy12 = x12 + y12Karena A(x1, y1) terletak pada lingkaran x2 + y2 = r2, maka diperoleh x12y12r. Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dan berjari-jari ryang melalui titik A(x1, y1) pada lingkaran x2+ y2 = r adalah x1x + y1y = r2Sifat 9.5Persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2adalah x1x + y1y = r2Contoh 9.11Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (2, 0) dengan pusat P(0,0) dan berjari-jari 3!Alternatif Penyelesaian:Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari 3 adalah x2 + y2 = 9 Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 9yang melalui titik (2, 0) adalahx1x + y1y = r2⇔xx1 + yy1 = 9⇔x(2) + y(0)= 9⇔2x – 9 = 0Gambar 9.18 : Lingkaran Pusat (0, 0) dan jari-jari r
97MatematikaJadi persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari 3 adalah 2x – 9 = 0b. Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat P (a, b) dan berjari-jari rMasalah-9.8Gambar 9.19 : Yoyo menyinggung dindingSeorang anak tampak asyik bermain yoyo bersama teman-temannya yang lain. Mainan Yoyo tersebut dimainkan sambil sesekali berjalan dan bergesekan dengan lantai, kadang-kadang juga dengan lihainya anak-anak tersebut melemparkannya sambil sesekali berjalan dan bersinggungan dengan tembok. Dari gambar di atas jelas terlihat bahwa dinding yang disinggung yoyo selalu menyinggung di titik A(x1, y1). Garis di dinding yang dilalui yoyo dapat disebut garis singgung dan titik yang bersinggungan antara yoyo dan dinding disebut titik singgung. Perhatikan bahwa jari-jari yang melalui titik singgung A(x1, y1) tegak lurus dengan dinding. Misalkan titik P adalah titik pusat lingkaran di (a, b). Berdasarkan keadaan di atas tentukanlah persamaan garis g tersebut! Alternatif Penyelesaian:Misalkan titik A(x1, y1) terletak pada lingkaran(x – a)2 + (y – b)2 = r2. Perhatikan gambar 9.20. Gradien garis PA adalah mybxaPA=−−11 .
98Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKGaris singgung g tegak lurus garis PA, sehingga gradien garis singgung g adalah mmxaybgPA=−=−−−111Persamaan garis singgung g adalah y – y1mg (x – x1) ⇔yyxaybxx−=−−−−()1111⇔ (y – y1)(y1 – b) = – (x1 – a)(x – x1)⇔ yy1 – yb – y12 + y1b = –(x1x – x12 – ax + ax1)⇔ yy1 – yb – y12 + yb = –x1x + x12 + ax – ax1⇔ xx1 – xa + x1a + yy1 – yb + y1b = x12 – y12Karena A(x1, y1) terletak pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2, maka diperoleh (x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2⇔ x12 – 2x1a + a2 + y12 – 2y1b + b2 = r2⇔ x12 + y12 = r2 + 2x1 – a2 + a2 + 2y1b – b2Substitusikan x12 + y12 = r2 + 2x1 – a2 + a2 + 2y1b – b2 ke persamaan garis singgung di atas, diperolehxx1 – xa + x1a + yy1 – yb + y1b = r2 + 2x1a – a2 + 21yb – b2⇔(xx1 – xa + x1a + a2) + (yy1 – yb + y1b + b2) = r2⇔(x – a)(x1 – a)+ (y – b)(y1 – b) = r2Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik P(a, b) dan berjari-jari r yang melalui titik A(x1, y1) pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 adalah(x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r2Gambar 9.20 : Lingkaran dilalui titik A(x1, y1)
99MatematikaSifat 9.6Persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 adalah (x – a)(x1 – q) + (y1 – b) = r2Contoh 9.12Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (2, 4) dengan persamaan lingkarannya adalah (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5.Alternatif Penyelesaian:Persamaan garis singgung lingkaran (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5 yang melalui titik (2, 4) adalah (x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r2⇔ (x – 1)(x1 – 1) + (y – 2)(y1 – 2) = 5⇔ (x – 1)(2 – 1) + (y – 2)(4 –2) = 5⇔ (x – 1)1 + (y – 2)2 = 5⇔x – 1 + 2y – 4 = 5⇔x + 2y = 0Jadi persamaan garis singgung lingkaran (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5 adalah x + 2y = 0Latihan 9.71.Misalkan titik A(x1, y1) terletak pada lingkaran x2 + y2 + ax + by + c = 0. Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + ax + by + c = 0 yang melalui titik A(x1, y1)!2.Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 10x – 12y + 25 = 0 di titik a. (5, 12)b. (1, 6)c. (–5, 0)
100Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKc. Persamaan Garis Singgung Lingkaran melalui Suatu Titik di Luar LingkaranMasalah-9.9Permainan tutup botol juga dapat dimainkan dengan versi yang berbeda. Beberapa membuat tutup botol dalam keadaan tertidur (seperti pada gambar), lalu bagian belakangnya disentil dengan jari telunjuk ataupun jari tengah agar tutup botol itu meluncur ke depan.Gambar 9.21 Dua buah tutup botolSetelah itu mereka lalu berlari mengejar tutup botol yang melaju kencang itu. Mereka tertawa ketika tutup botol salah satu pemain berhasil meluncur dan mengenai tutup botol lainnya. Dari gambar di atas jelas terlihat bahwa salah satu tutup botol akan menyinggung tutup botol yang lain di dua titik. Misalkan A(x1, y1) adalah titik yang berada pada tutup botol I dan sasarannya adalah tepi tutup botol II. Berdasarkan keadaan di atas tentukanlah persamaan garis g1 dan g2 tersebut! Alternatif Penyelesaian:Misalkan titik A(x1, y1) terletak di luar lingkaran. Terdapat dua garis singgung lingkaran yang melalui titik A(x1, y1) dan digambarkan sebagai berikut.Langkah-langkah untuk menentukan persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut:1.Misalkan gradien garis singgung yang melalui titik A(x1, y1) adalah m sehingga diperoleh persamaan.Gambar 9.22 : Dua Buah garis yang menyinggung Lingkaran
101Matematikay – y1 = m(x – x1)⇔y – y1 = mx – mx1⇔y = mx – mx1 + y12.Dari langkah 1 substitusikan nilai y = mx – mx1 + y1 ke dalam persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam variabel x, kemudian tentukan nilai diskriminannya, dari persamaan kuadrat tersebut.3.Karena garis singgung itu merupakan garis lurus dan menyinggung lingkaran akibatnya nilai diskriminan nol, Setelah itu carilah nilai m. Selanjutnya nilai m tersebut substitusikan ke persamaan y = mx – mx1 + y1 sehingga diperoleh persamaan-persamaan garis singgung tersebut.Contoh 9.13Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat P(0, 0) dan berjari-jari 5 yang melalui titik (7, 1).Alternatif Penyelesaian:Titik (7, 1) berada di luar lingkaran x2 + y2 = 25 sebab jika titik (7, 1) disubstitusikan ke persamaan lingkaran tersebut diperoleh 72 + 12 = 50 > 25Persamaan lingkaran dengan pusat P(0, 0) dan berjari-jari 5 adalahx2 + y2 = 25Garis yang melalui titik (7, 1) dengan gradient m, memiliki persamaany = mx – mx1 + y1⇒y = mx –7m + 1Substitusikan nilai y = mx –7m + 1 ke persamaan lingkaran x2 + y2 = 25 diperolehx2 + (mx – 7m + 1)2 = 25⇔x2 + m2x2 – 49m2 + 1 – 14m2x + 2m – 14m = 25⇔(1 + m2)x2 + (2m – 14m2)x + (–49m2 – 14m – 24) = 0
102Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSelanjutnya ditentukan nilai diskriminan D = b2 – 4acD= (2m – 14 m2)2 – 4(1 + m2)(49m2 – 14m – 24)= 4m2 – 56m3 + 196m4 – 4(49m2 – 14m – 24 + 49m4 – 14m3 – 24m2)= 4m2 – 56mm3 + 1196m4 – 196m2 + 56m + 96 – 196m4 + 56m3 + 96m2 = 4m2 + 96m2 – 196m2 + 56m + 96= –96m2 + 56m + 96Syarat D = 0 –96m2 + 56m + 96 = 0⇔ 96m2 – 56m – 96 = 0⇔ 12m2 – 7m – 12 = 0⇔ (4m + 3)(3m – 4) = 0⇔m=−34 atau m=43Sehingga diperoleh persamaan garis singgung3x – 4y – 25 = 0 atau 4x – 3y – 25 = 0Latihan 9.8Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang melalui titik (0, 2).Uji Kompetensi 9.21.Tentukanlah nilai C agar garis y = x + C menyinggung lingkaran x2 + y2 = 25.2.Berapakah nilai r jika r positif dan x + y = r menyinggung lingkaran x2 + y2 = r?3.Tentukanlah gradien garis singgung jika kedua garis lurus yang ditarik dari titik (0, 0) dan menyinggung sebuah lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 6x + 2y + 5 = 0!4.Tentukanlah persamaan garis yang sejajar dengan x – 2y = 0 dan membagi lingkaran x2 + y2 + 4x + 3 = 0 menjadi dua bagian yang sama!5.Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 melalui titik (6, –6)!
103Matematika6.Jika lingkaran x2 + y2 – 2ax + 6y + 49 = 0 menyinggung sumbu x, tentukanlah nilai a!7.Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di (3, 4) dan menyinggung sumbu x kemudian tentukan persamaan lingkaran hasil pencerminan lingkaran terhadap gaaris y = – x ! 8.Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 4 bergradien 1!9.Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang melalui titik (–3, –4)!10.Tentukanlah nilai q jika diberikan garis x + y = q, menyinggung lingkaran x2 + y2= 8 di titik A pada kuadran pertama!11.Tentukanlah nilai k, jika titik (–5, k) terletak pada lingkaran x2 + y2 + 2x – 5y – 12 = 0!12.Tentukanlah nilai C agar garis y = x + C menyinggung lingkaran x2 + y2 = 25!13.Tentukanlah persamaan garis lurus yang melalui pusat lingkaran x2 + y2 – 2x – 4y+ 2 = 0 tegak lurus garis 2x – y + 3 = 0!
104Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKD.PENUTUPBeberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan materi Lingkaran, disajikan sebagai berikut:1.Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap titik tertentu.2.Persamaan lingkaran adalah sebagai berikuta.Persamaan lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan memiliki jari-jari r adalah x2 + y2 + r2b.Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan memiliki jari-jari r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2c.Bentuk Umum persamaan lingkaran yang memiliki jari-jari r dengan rABC=+−22dan A, B, C bilangan real adalah x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 03.Kedudukan suatu titik terhadap lingkaran ada tiga yaitu di dalam lingkaran, pada lingkaran, dan di luar lingkaran.4.Misalkan g garis dengan persamaan y = ax + b dan L lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + r2 sehingga membentuk sistem persamaan linear-kuadrat. Persamaan garis singgung lingkaran dapat ditentukan dengan menentukan persamaan garis y = mx – mx1 + y1 yang bergradien m dengan syarat diskriminan pada selesaian sistem persamaan linear-kuadrat sama dengan nol kemudian mensubstitusikan nilai m ke persamaan y = mx – mx1 + y1